Matematika Diskrit Pertemuan 5

1. Suatu kalimat yang bernilai benar atau salah saja disebut…..

a. Deklarasi         

b. proposisi       

c. Pernyataan

d. disjungsi

e. Implikasi

Jawaban : c. Pernyataan

2. p = hari ini saya kuliah matematika diskrit, jika dicari negasinya maka hasilnya……

a. Hari ini saya tidak kuliah matematika diskrit

b. Besok saya kuliah matematika diskrit

c. Saya kuliah matematika diskrit

d. Hari ini saya kuliah automata

e. semua salah

Jawaban :  a. Hari ini saya tidak kuliah matematika diskrit

3. Jika p benar, q salah dan r benar, maka proposisi di bawah ini yang mempunyai nilai kebanaran ‘salah’ adalah……..

a. (pÚq)→r

b. (pÙq)→r

c. (pÙ~q)Úr

d. (pÚq)→~r

e. (pÚq)Úr

Jawaban :  d. (pÚq)→~r

4. Kumpulan pernyataan – pernyataan atau premis-premis atau dasar pendapat serta kesimpulan(konklusi) disebut dengan…..

a. Premis

b. Argumen

c. Pernyataan

d. Proposisi

e. Validitas

Jawaban : b. Argumen

5. 1. Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus

   2. Saya rajin belajar Dari dua argumen di atas maka kesimpulan yang diperoleh yaitu……..

a. Nilai saya tidak bagus

b. Saya tidak rajin belajar

c. Nilai saya bagus

d. Saya rajin belajar

e. Semua benar

Jawaban :  c. Nilai saya bagus

ESSAY I
Selidiki apakah kedua proposisi dibawah ini setara:

1. P(1) = Tidak benar bahwa system bilangan biner dipergunakan dalan system digital atau system digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

2. p(2) = Sistem bilangan biner tidak dipergunakan dalam system digital dan tidak benar bahwa system digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

(hint: buktikan : ~( p Ú q ) º ~ p Ù ~ q )

Jawaban :

Kedua Proposisi di atas dapat di tulisakan dengan notasi sebagai berikut:

1.~(p v q)

2.~p^~q

Sehingga tabel kebenaran nya sebagai berikut :

Jadi,kedua proposisi tersebut setara atau ~(p v q) º~p ^ ~q

3. Tentukan konvers, invers, dan kontrapositif dari proposisi berikut:

Jika Ms Word aplikatifnya maka windows sistem operasinya

Jawaban :

Konvers = “jika windows sistem operasinya , maka Ms Word aplikatifnya”

Invers  =”jika Bukan Ms Word aplikasinya, Maka Bukan Windows sistem operasinya”.

Kontraposisi=”jika bukan Windows sistem operasinya, maka Bukan Ms Word Aplikatifnya”.

Tabel Kebenaran

Jadi dapat disimpulkan bahwa proposisi yang saling kontra-positip mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen).

Berdasarkan sifat tersebut maka kita dapat membuktikan suatu dalil dalam bentuk implikasi melalui nilai kebenaran kontra-positipnya.

ESSAY II

Beri Argumen dan Tulis Simbolnya

1. Jika harga gula naik, maka pabrik gula akan senang.

Jika pabrik gula senang, maka petani tebu akan senang.

Jadi, jika harga gula naik,maka petani tebu akan senang

Jawaban:

Hypothetical syllogism

p → q

q → r

p → r

2. Jika lampu lalu lintas menyala merah, maka semua kendaraan akan berhenti.

Lampu lalu lintas menyala merah.

Jadi,dengan demikian semua kendaraan akan berhenti

Jawaban:

Modus Ponens

p → q

p

؞q

3. Program computer ini memiliki bug, atau menginputnya salah.

Inputnya tidak salah.

Jadi,dengan demikian, program komputer ini memiliki bug

Jawaban:

Disjunctive syllogism

p v q

~ p

؞q

4. Jika saya makan, maka saya akan kenyang.

Saya tidak kenyang.

Jadi, Dengan demikian, saya tidak kenyang

Jawaban:

Modus Tollens

p → q

~ q

؞~ p

Matematika Diskrit Pertemuan 4

1. Kaidah dasar perhitungan yaitu penjumlahan dan perkalian digunakan dalam

a. Kombinatorial

b. Permutasi

c. Kombinasi

d. Relasi

e. Induksi matematika

Jawaban =  a. Kombinatorial

2. Suatu pengurutan data dimana urutan tidak diperhatikan adalah definisi .....

a. Permutasi

b. Kombinasi

c. Himpunan

d. Relasi

e. Fungsi

Jawaban = b. Kombinasi

3. Penyusunan obyek dimana sebagian obyek sama disebut dengan .....

a. Permutasi bentuk umum

b. Kombinasi bentuk umum

c. Kombinasi perulangan

d. Permutasi perulangan

e. a dan b benar

Jawaban = e. a dan b benar

4. Hasil perhitungan dari P(8,3) adalah ....

a. 6720

b. 240

c. 336

d. 520     

e. 56

Jawaban = c. 336

5. Hasil perhitungan dari C((6,3)C(4,2) adalah ....

a. 2   

b. 6    

c. 1440

d. 120    

e. 144

Jawaban = c. 1440

ESSAY

1.Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari. Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama?
6!/(4-2)! = 6! / 2! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 x 1 = 360

2.anggap metode kode berupa susunan huruf dulu baru susunan angka

banyak caranya

= banyak cara menyusun huruf × banyak cara menyusun angka

= 26P4 × 10P3

= 26×25×24×23×10×9×8 = 258.336.000

3.Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka

dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:

(a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan

(b) boleh ada pengulangan angka.

Penyelesaian:

(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah

Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)!=5!/2!= 60

(b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi.

Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 5pangkat3= 125.

4. String biner yang panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 atau 0. Berapa banyak string biner yang tepat berisi 7 buah bit 1
jawaban: C(32,7) = 3.365.856

5. Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0).

a. Berapa banyak pola bit yang terbentuk? (atau berapa banyak karakter yang dapat  dipresentasikan?)

b. Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1?

c. Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap?

Jawaban: 

a. Karakter ASCII dalam urutan 0,1,2,3,4,5,6,7

   Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 2 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 3 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 4 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 5 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 6 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

   Semua posisi harus diisi, jadi jumlah pola bit yang terbentuk

   = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^8

b. Kombinasi dari delapan dengan tiga atau C(n,r) = n!

   dengan r!(n-r)!

   C (8,3) = 8!/3!(8-3)! =  56

c. Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

   Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)

   Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)

   Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)

   Maka banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap 

   = C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) 

   = 40320 + 28 + 70 + 20160 = 60578

6.Suatu Panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut  dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus

a. terbentuk tanpa persyaratan lain

b. terdiri 3 pria dan 2 wanita

c. terdiri 2 pria dan 3 wanita

Jawaban: 

a. Karena tidak ada persyaratan yang lain jika semua pria dan wantita ditentukan menjadi panitia.

C(4,4) + C(3,1) = 4!/0!.4! + 3!/2!.1!

= 1 + 3 = 4 cara

                    

b. C(4,3) + C(3,2) = 4!/3!.1! + 3!/1!.2! = 4 + 3 = 7 cara

                    

c.  C(4,2) + C(3,3) = 4!/2!.2! + 3!/0!.3! = 6 + 1 = 7 cara

Matematika Diskrit Pertemuan 3

1.  Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut

a. Elemen    d. Relasi

b. kuantor   e. Fungsi

c. refleksif

Jawaban : b. kuantor

2.  Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan

a. ∃         d. ∑

b. ⩝         e. π

c. ῼ

Jawaban : a. ∃

3.  Negasi / ingkaran dari ∃X adalah

a. ∃x       d. ∑x

b. ⩝x       e. π𝑥 

c. ῼx

Jawaban : b. ⩝x

4.  Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : c. Basis induksi 

5.  Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : e. Induksi Matematika

ESSAY

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

Jawaban :

Basis induksi: p(1) benar, karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah

1²=1

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa

1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah

(2n-1)]

Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n + 1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

2. Untuk semua n ≥ 1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3.

Jawaban :

Basis Induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1, 1³ + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3.

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

n³ + 2n adalah kelipatan 3

diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga

benar, yaitu

(n + 1)³ + 2(n+1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

(n + 1)³ + 2(n + 1) = (n³ + 3n³ + 3n + 1) + (2n + 2)

= (n³ + 2n) + 3n² + 3n + 3 = (n³ + 2n) + 3(n² + n + 1)

3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3

Untuk n = 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3

1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3

1(2) = (1(2)(3))/3

2 = 2

terbukti benar,

untuk n = k

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

Uji untuk n = k + 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

(k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

(k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

terbukti benar

Matematika Diskrit Pertemuan 2

Pilihan ganda

1.Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain disebut…….

a. Fungsi        d. Proyeksi

b. Himpunan      e. Join

c. Relasi

Jawaban = C. relasi

2. Yang merupakan bentuk pemaparan relasi adalah…….

a. Koordinat      d. Graf berarah

b. Matrik         e. semua benar

c. Pemetaan

Jawaban = E. Semua benar

3. Misal A= { 1, 2, 3} dan R= { (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)} memenuhi sifat relasi……

a. Refleksif      d. Selection

b. Symetric       e. Proyeksi

c. Transitif

Jawaban = A. Refleksif

4. Notasi operator memilih kolom dalam suatu tabel adalah….

a. 𝜏            d. 𝜇

b. π            e. 𝜌

c. 𝜎 

Jawaban = B. π

5. Suatu relasi dimana tidak ada dua elemen himpunan asal yang memiliki bayangan yang sama disebut………

a. Relasi         d. One to one

b. Fungsi         e. Himpunan

c. Onto

Jawaban = D. one to one

Essay I

Selidiki jenis Fungsi atau bukan, fungsi satu-ke-satu atau bukan, fungsi pada atau bukan.

1. A = {1,2,3,4} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,v),(3,w)}

    Jawab : Fungsi satu-ke-satu

2. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}

    Jawab : Fungsi pada, bukan fungsi satu-ke-satu.

3. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w,x} diberikan f = {(1,w),(2,u),(3,v)}

    Jawab : Fungsi satu-ke-satu, bukan fungsi pada.

4. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,u),(3,v)}

    Jawab : Fungsi pada.

5. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

    Jawab : Fungsi Satu-ke-satu.

Essay II

1. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

ID	Nama	Manajer
1089	Budi	Zamora
5624	Candra	Ivan
9843	Herman	Rudi
7610	Rian	Irwan

2. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	Manajer
23	Zamora
10	Rudi
12	Irwan

Jawaban :

tmanager (Tabel 1, Tabel 2)

ID	Nama	Dept.	Manajer
1089	Budi	23	Zamora
9843	Herman	10	Rudi
7610	Rian	12	Irwan

Yang menghasilkan tupel :

{(1089,Budi,23,Zamora),(9843,Herman,10,Rudi),(7610,Rian,12,Irwan)}.

3. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	No. Barang	Banyaknya
23	23a	200
10	33c	45
23	500	56
25	11	150

4. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Nama	No. Barang
United Supplier	33c
ABC Limited	23a
ABC Limited	11
JCN Electronics	500

Jawaban :

tno.barang (Tabel 3, Tabel 4)

Nama	Dept.	No. Barang	Banyaknya
United Supplies	10	33c	45
ABC Limited	23	23a	200
ABC Limited	25	11	150
JCN Electronics	23	500	56

Yang menghasilkan tupel :

{(United Supplies,10,33c,45),(ABC Limited,23,23a,200),(ABC Limited,25,11,150),(JCN Electronics,23,500,56)}.

5. Carilah nama-nama semua pekerja (jangan sertakan nama manajer)

 Jawaban : 

 πNama (Tabel 1) = {(Budi),(Candra),(Herman),(Rian)}.

6. Carilah semua nomor produk

 Jawaban : 

πNama (Tabel 4) = {(United Supplies),(ABC Limited),(JCN Electronics)}.

7. Carilah semua produk yang dipasok oleh departemen 23

Jawaban : 

 πDept = “23” (r Dept.(Tabel 1, Tabel 2, Tabel 3, Tabel 4)} = (23,1089,Budi,Zamora,23a,ABC Limited,200).

8. Carilah nomor produk dari produk-produk yang manangani paling sedikit 50 jenis barang

 Jawaban : 

 Tabel 3(No.Barang,Banyaknya(≥50) = {(23a,200),(500,56),(11,500)}.