Matematika Diskrit Pertemuan 3

1.  Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut

a. Elemen    d. Relasi

b. kuantor   e. Fungsi

c. refleksif

Jawaban : b. kuantor

2.  Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan

a. ∃         d. ∑

b. ⩝         e. π

c. ῼ

Jawaban : a. ∃

3.  Negasi / ingkaran dari ∃X adalah

a. ∃x       d. ∑x

b. ⩝x       e. π𝑥 

c. ῼx

Jawaban : b. ⩝x

4.  Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : c. Basis induksi 

5.  Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : e. Induksi Matematika

ESSAY

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

Jawaban :

Basis induksi: p(1) benar, karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah

1²=1

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa

1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah

(2n-1)]

Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n + 1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

2. Untuk semua n ≥ 1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3.

Jawaban :

Basis Induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1, 1³ + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3.

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

n³ + 2n adalah kelipatan 3

diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga

benar, yaitu

(n + 1)³ + 2(n+1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

(n + 1)³ + 2(n + 1) = (n³ + 3n³ + 3n + 1) + (2n + 2)

= (n³ + 2n) + 3n² + 3n + 3 = (n³ + 2n) + 3(n² + n + 1)

3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3

Untuk n = 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3

1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3

1(2) = (1(2)(3))/3

2 = 2

terbukti benar,

untuk n = k

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

Uji untuk n = k + 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

(k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

(k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

terbukti benar