Matematika Diskrit Pertemuan 3

1.  Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut

a. Elemen    d. Relasi

b. kuantor   e. Fungsi

c. refleksif

Jawaban : b. kuantor

2.  Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan

a. ∃         d. ∑

b. ⩝         e. π

c. ῼ

Jawaban : a. ∃

3.  Negasi / ingkaran dari ∃X adalah

a. ∃x       d. ∑x

b. ⩝x       e. π𝑥 

c. ῼx

Jawaban : b. ⩝x

4.  Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : c. Basis induksi 

5.  Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan

a. Langkah Induksi       d. Hipotesis induksi 

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi 

Jawaban : e. Induksi Matematika

ESSAY

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

Jawaban :

Basis induksi: p(1) benar, karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah

1²=1

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa

1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah

(2n-1)]

Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n + 1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

2. Untuk semua n ≥ 1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3.

Jawaban :

Basis Induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1, 1³ + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3.

Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

n³ + 2n adalah kelipatan 3

diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga

benar, yaitu

(n + 1)³ + 2(n+1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

(n + 1)³ + 2(n + 1) = (n³ + 3n³ + 3n + 1) + (2n + 2)

= (n³ + 2n) + 3n² + 3n + 3 = (n³ + 2n) + 3(n² + n + 1)

3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3

Untuk n = 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3

1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3

1(2) = (1(2)(3))/3

2 = 2

terbukti benar,

untuk n = k

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

Uji untuk n = k + 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

(k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

(k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

terbukti benar

Matematika Diskrit Pertemuan 2

Pilihan ganda

1.Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain disebut…….

a. Fungsi        d. Proyeksi

b. Himpunan      e. Join

c. Relasi

Jawaban = C. relasi

2. Yang merupakan bentuk pemaparan relasi adalah…….

a. Koordinat      d. Graf berarah

b. Matrik         e. semua benar

c. Pemetaan

Jawaban = E. Semua benar

3. Misal A= { 1, 2, 3} dan R= { (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)} memenuhi sifat relasi……

a. Refleksif      d. Selection

b. Symetric       e. Proyeksi

c. Transitif

Jawaban = A. Refleksif

4. Notasi operator memilih kolom dalam suatu tabel adalah….

a. 𝜏            d. 𝜇

b. π            e. 𝜌

c. 𝜎 

Jawaban = B. π

5. Suatu relasi dimana tidak ada dua elemen himpunan asal yang memiliki bayangan yang sama disebut………

a. Relasi         d. One to one

b. Fungsi         e. Himpunan

c. Onto

Jawaban = D. one to one

Essay I

Selidiki jenis Fungsi atau bukan, fungsi satu-ke-satu atau bukan, fungsi pada atau bukan.

1. A = {1,2,3,4} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,v),(3,w)}

    Jawab : Fungsi satu-ke-satu

2. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}

    Jawab : Fungsi pada, bukan fungsi satu-ke-satu.

3. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w,x} diberikan f = {(1,w),(2,u),(3,v)}

    Jawab : Fungsi satu-ke-satu, bukan fungsi pada.

4. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,u),(3,v)}

    Jawab : Fungsi pada.

5. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

    Jawab : Fungsi Satu-ke-satu.

Essay II

1. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

ID	Nama	Manajer
1089	Budi	Zamora
5624	Candra	Ivan
9843	Herman	Rudi
7610	Rian	Irwan

2. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	Manajer
23	Zamora
10	Rudi
12	Irwan

Jawaban :

tmanager (Tabel 1, Tabel 2)

ID	Nama	Dept.	Manajer
1089	Budi	23	Zamora
9843	Herman	10	Rudi
7610	Rian	12	Irwan

Yang menghasilkan tupel :

{(1089,Budi,23,Zamora),(9843,Herman,10,Rudi),(7610,Rian,12,Irwan)}.

3. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Dept.	No. Barang	Banyaknya
23	23a	200
10	33c	45
23	500	56
25	11	150

4. Nyatakan relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel

Nama	No. Barang
United Supplier	33c
ABC Limited	23a
ABC Limited	11
JCN Electronics	500

Jawaban :

tno.barang (Tabel 3, Tabel 4)

Nama	Dept.	No. Barang	Banyaknya
United Supplies	10	33c	45
ABC Limited	23	23a	200
ABC Limited	25	11	150
JCN Electronics	23	500	56

Yang menghasilkan tupel :

{(United Supplies,10,33c,45),(ABC Limited,23,23a,200),(ABC Limited,25,11,150),(JCN Electronics,23,500,56)}.

5. Carilah nama-nama semua pekerja (jangan sertakan nama manajer)

 Jawaban : 

 πNama (Tabel 1) = {(Budi),(Candra),(Herman),(Rian)}.

6. Carilah semua nomor produk

 Jawaban : 

πNama (Tabel 4) = {(United Supplies),(ABC Limited),(JCN Electronics)}.

7. Carilah semua produk yang dipasok oleh departemen 23

Jawaban : 

 πDept = “23” (r Dept.(Tabel 1, Tabel 2, Tabel 3, Tabel 4)} = (23,1089,Budi,Zamora,23a,ABC Limited,200).

8. Carilah nomor produk dari produk-produk yang manangani paling sedikit 50 jenis barang

 Jawaban : 

 Tabel 3(No.Barang,Banyaknya(≥50) = {(23a,200),(500,56),(11,500)}.